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Cero a la cero = dolor de cabeza
Por arkanuz | March 15, 2009
Algunas personas me han preguntado cuanto es cero a la cero, y es que siempre habia pensado que era igual a cero, sin embargo esto no es cierto, algunos otros me han dicho que es uno (gracias a alberto, ahora sé que tambien cero a la cero es uno, para averiguar la demostración busca en los comentarios de abajo), y es que muchos profesores prefieren eludir la pregunta y googleando el tema tampoco llegas a un consenso así que para resolver el dilema ocupe mis superpoderes matemáticos (para los que no están enterados, estudio eso) y encontré lo siguiente.
Es más que sabido por la comunidad técnica que cualquier número elevado a la potencia cero (excepto el cero) es igual a uno, es decir, x^0=1 para x distininto de cero. La demostración es facil de entender pues ocupa leyes de los exponentes:
1=/(x^n)=x^(n-n)=x^0
Esto es váido para x distinto de cero (la división no es sobre cero), sin embargo, al ser x=0 es donde entramos en broncas.
También es conocido que 0 a cualquier potencia distinta de cero es igual a cero, así por ejemplo:
0^3=(0)(0)(0)=0
Ahora, para el caso que nos interesa, hagamoslo empleando la técnica que vimos al principio, sabiendo que 0^n=0 para n distinto de cero, así que:
0^0=(0^n)/(0^n)=0/0 !!!
Hemos llegado a un error, por lo tanto cero a la cero es indeterminado. (Pregúntenle a su matemático de cabecera). Si acaso no me creen, pueden meter esto en una calculadora cientÃífica y verán que les arroja un error.
Como dato extra, cero a una potencia negativa tambien es indeterminado pues:
0^(-n)=1/(0^n)=1/0 !!!
Y ya estando encarrerados, para aquellos que preguntan cuál es el factorial de cero, les digo que el resultado es 1. La demostración es muy sencilla, primero recordemos que:
n!=(1)(2)(3)…(n-1)(n)
por ejemplo:
3!=(1)(2)(3)=6
notemos que:
n!/n=(n-1)!
por ejemplo:
4!/4=[(1)(2)(3)(4)]/4=24/4=6=3!
entonces:
1=1/1=1!/1=(1-1)!=0!
Ahora sí, que no te cuenteé tu profesor de matemáticas 
14 perros que no vamos a patear por que haz comentado en “Cero a la cero = dolor de cabeza”
March 15th, 2009 el 11:01 pm
jajaja, q mamila, solo con decir q la división sobre “0″ da una indeterminación, y con eso ¬¬! JAJAJA, buen tema
( espero q con este artÃculo no piensen q somos nerds )
March 18th, 2009 el 10:05 am
Si hubiera puesto solamente que 0/0 es una indeterminación, como lleno el post? además, se tiene que explicar un poco el tema por si las moscas no se acuerdan de leyes de los exponentes.
Y efectivamente no somos nerd’s, solo genios incomprendidos…
April 7th, 2009 el 12:56 pm
METETE EN ESTA PAGINA HAY ALGUIEN QUE NO ESTA DE ACUERDO CON 0^0=INDET PARA ESA PERSONA 0^0=1 Y TIENE DEMOSTRACION PARECE COHERENTE
http://gaussianos.com/%C2%BFcuanto-vale-cero-elevado-a-cero-%C2%BFy-cero-factorial/
April 7th, 2009 el 1:29 pm
Gracias por el interes.
Ya revize el link que mencionas pero este chavo tiene un error en su demostracion al aplicar la regla de L Hopital y es que no se deriva a lo loco, primero se deben cubrir algunos requisitos con las funciones que forman a la funcion racional pues deben ser funciones continuas en el punto.
Es decir, en este caso no se puede aplicar L Hopital a f(x)=1/x, pueden revisar en wikipedia para ver los requisitos para aplicar esta regla
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital
April 7th, 2009 el 2:40 pm
Se, genios incomprendidos, bola de nerds ¬¬…
April 7th, 2009 el 9:25 pm
orale, buen manera de refutar, de hecho en prÃncipio me hizo dudar, solo q como dice arkanuz, cuando dice log A = limx->0log x/(1/x) = [L’Hopital] = limx->0(1/x)/(-1/x2) deriva 1/x,jajaja “deriva a lo loco” ¬¬!
ya habÃa caÃdo, pero tiene razón aplica mal la regla L Hopital.
Es bueno saber q hay gente = de ociosa para estás cosas
April 9th, 2009 el 6:10 pm
Que onda??
Asà o mas nerds ¬¬.. Krimenhild y Ale hablaran de médician, haber si ustedes entienden nuestros términos jajaa
July 3rd, 2009 el 11:53 pm
¿Qué tal?
Pues sí, lo que dices es muy válido, aún no he hallado el error (si es que lo hay) en esa demostración de que 0 a la 0 no está definido. Sin embargo, existe una demostración de que 0^0 es 1 y no recurre a cosas raras de límites. Es una demostración conjuntista muy padre, intentaré explicarla lo mejor posible.
Sean A y B dos conjuntos de cardinalidad finita. Diremos que B^A (que se lee “B elevado a la A”, luego será evidente el porqué de este nombre) es el conjunto de todas las funciones de A en B, es decir, B^A = {f: f:A -> B}. Para esto, vale la pena recordar la definición de función.
Definición. Si A y B son conjuntos, entonces una función f:A -> B es un conjunto de pares ordenados (a,b) con a en A y b en B tal que:
1) Para todo elemento a en A existe un elemento b en B tal que (a,b) pertenece a f, es decir, se exige que todos los elementos de A esten emparejados con algun elemento de B en una función (aunque no necesariamente a la inversa).
2) Si (a,b) esta en f y (a,b’) esta en f también, entonces necesariamente b = b’, es decir, ningún elemento de A puede estar emparejado con dos elementos distintos de B en una función (aunque no necesariamente a la inversa).
Por ejemplo, si tenemos que A = {0, 1} y B = {0, 1, 2}, una función es f = {(0,0), (1,1)}; otra función posibles podría ser g = {(0,2), (1,2)}, etc. Observemos que cada función consta única y exclusivamente de dos pares ordenados, pues la cardinalidad del conjunto B es 2. Concretamente, el conjunto B^A consta de 9 elementos, a saber:
B^A = {{(0,0), (1,0)}, {(0,1), (1,1)}, {(0,2), (1,2)}, {(0,0), (1,1)}, {(0,0), (1,2)}, {(0,1), (1,2)}, {(0,1), (1,0)}, {(0,2), (1,0)}, {(0,2), (1,1)}}
Observese que cualquier intento por incluir alguna otro conjunto de pares ordenados de A y B fracasará en la definición de función de A en B, pues o bién no cubrirá a todos los elementos de A, o bién emparejará a un elemento de A con dos o más distintos de B.
Ahora, de aqui podemos ver que la cardinalidad de B^A (denotada como |B^A|) es igual a 9, y como probablemente ya algunos se hallan dado cuenta, |B|^|A| = |3|^|2| = 9.
Esto ocurre para cualesquiera conjuntos A y B de cardinalidad finita. ¿Por qué? Si se fijan bien, para encontrar a todos los elementos B^A nos preguntamos en realidad de cuántas maneras podemos emparejar los k elementos de A con los m elementos de B, y esto en combinatoria se conoce como una ordenación con repetición de k en m, cuya fórmula nos dice que equivale a m^k, es decir, |B|^|A|. Así pues, queda demostrado que |B^A| = |B|^|A|.
Observando esto, vamos a preguntarnos ahora qué pasa con B^A cuando A ó B son vacíos. Si B es vacío (i.e., |B| = 0), y |A| no es vacío, entonces debe resultar claro que no existe ninguna función f:A -> B pues, de existir, esto querría decir que para todo elemento a en A existe un elemento b en B tal que (a, b) esta en f, pero no puede existir ese b en B, pues B es vacío. Así pues, B^A es vacío tambien y entonces |B^A| = 0, lo que concuerda con 0^|A| = 0, cuando |A| != 0.
Si ahora es A el conjunto vacío (i.e., |A| = 0), ocurre una situación muy curiosa, y es que aquí el conjunto vacío cumple con ser una función f:A->B. ¿Por qué? Pensemos tantito. El conjunto vació cumple con ser un conjunto de pares ordenados de A y B por el simple hecho de ser un conjunto. Ahora veamos que cumple con las dos propiedades de la definición de función.
1. ¿Se cumple que para todo a en A existe un b en B tal que (a, b) esta en el vacío? Sí, esto secumple por vacuidad, pues al no existir ningún elemento en A por ser vacío, no es necesario que exista un elemento b en B, ni que exista el par ordenado (a, b) en el vacío.
2. ¿Se cumple que si (a,b) y (a,b’) estan en el vacío, entonces b=b’? Sí, nuevamente por vacuidad. Como no existen dichos pares ordenados en el vacío, esta propiedad se cumple trivialmente.
A la luz de esto, podemos afirmar que, cuando |A| = 0, se cumple que B^A = {{}}, es decir, el vacío pertenece a B^A. Esto a su vez quiere decir que |B^A| = 1, pues el vacío cuenta como elemento en este conjunto, y entonces esto es consistente con la idea de que |B|^0 = 1.
En este momento ya podemos decir, sin lugar a dudas, que 0^0 = 1. ¿Por qué? Si nos fijamos en el último caso, en ningún momento fué necesario decir que B es no vacío, porque el hecho de que A sea vacío implica ya que todas las propiedades de las funciones las cumpla el conjunto vacío. Por lo tanto, si ambos conjuntos A y B son vacíos a la vez, se sigue compliendo que B^A = {{}} y, consecuentemente, que |B^A| = 1 y que 0^0 = |B|^|A| = |B^A| = 1.
Saludos cordiales!
July 4th, 2009 el 12:00 am
Sospecho que este asunto de cuánto vale cero a la cero depende completamente de si estás en un espacio discreto o en un espacio medible, no se tú que pienses.
Saludos.
July 4th, 2009 el 12:29 am
¿Qué tal? De nuevo aquí de terco. Ya vi en donde está el error en tu argumento. Resulta de una cuestión de dominios. Me explico.
Tu argumento de que 0^0 no esta determinado se basa en una prueba por contradicción bastante convincente: si existe 0^0 en los reales, entonces
0^0 = 0^(k-k) = 0^k/0^k = 0/0 esta en los reales.
Pero, de la misma manera que pruebas que 0^0 no está en los reales, yo podría decir lo siguiente:
0 = 0^1 = 0^(2-1) = 0^2/0^1 = 0/0, y 0/0 no pertenece a los reales, por lo que 0 no pertenece a los reales!
El problema esta en que no puedes simplemente decir que 0^0 = 0^(k-k), pues ahí va implícita una afirmación falsa: que 0^-k es un real. Así pues, no es válido separar el 0^0 en dos factores como lo hiciste, pues uno de los factores es indeterminado.
Es como aquella falsa demostración de que la unidad imaginaria i es -1. A saber:
i = sqrt(-1), entonces -i = -sqrt(-1) = sqrt(1) = 1, por lo tanto -i = 1 y entonces i = -1!
El error radica en querer ver a i como sqrt(-1) y operar en ella como con una raíz ordinaria. Simplemente no se puede, porque i es una unidad imaginaria y las propiedades de radicales en R no aplican en ella.
Espero que con esto quede aclarado el tema.
Saludos.
July 4th, 2009 el 4:11 pm
Entiendo tu punto y tienes razón, existe un error en suponer que 0^(-n) es un real, lo cual hace esta demostración incorrecta, sin embargo estoy suponiendo esto para llegar al resultado por contradicción, es decir, formalmente deberia haberlo escrito así:
——————–
Teorema: 0^0 no es un número real.
Demostración (por contradicción): supongamos que existe x en R talque x=0^0, entonces para cualquier n entero distinto de cero
x=(0^n)/(0^-n)=0/0 (por propiedades de potencias, ya que si existe x debe cumplirlas) ¡¡contradicción!! pues 0^-n no es real.
Así, x no existe en R.
——————————-
Ahora, no podemos usar tu argumento en que 0^1=0^(2-1), porque aquí no estas usando contradicción.
Finalmente, el argumento que usaste usando teoria de conjuntos tambien es válido y no lo sabia (no soy muy bueno en algebra moderna), por lo que fue muy entretenido leer y aprender algo que no conocia (que nerd se oyó eso).
Como conclusión, las matemáticas dependen de las reglas con las que juegues (para los que no sepan matemáticas, los reales son solo un conjunto particular de posibles construcciones que puede hacerse en teoria de conjuntos).
Gracias por el aporte amigo y ya corregí con tu observación eso de que 0^0 también es 1.
July 4th, 2009 el 10:10 pm
ustedes si que dan dolor de cabeza, bueno la verdad no por que ni los leo completos, noños…¬¬u
July 6th, 2009 el 1:44 am
Leí tu corrección, y sigue mal. Ciertamente al llegar a que uno de los factores es 0^-n demostrarías por contradicción lo que quieras, porque 0^-n no es un real. Sin embargo, hay una trampa en la manera en la que llegas a que existe ese factor.
Para explicar mejor esta trampa, aquí pongo la demostración (obviamente falsa) de que 0 no esta en los reales, utilizando el mismo argumento que tú.
P.D. que 0 no está en los reales.
Supongamos por contradicción que 0 sí está en los reales, es decir, existe x en R tal que x = 0. Entonces:
1. x = 0^1
2. = 0^(2-1)
3. = (0^2)(0^-1), contradicción, porque 0^-1 no está en los reales!
por lo tanto, 0 no esta en los reales… !!!
La trampa está en el paso 3., al descomponer al 0 en factores que incluyen al inverso del cero, el cual por supuesto no existe. Al hacer dicha descomposición, estoy suponiendo implícitamente la existencia de 0^-1, lo cual lleva al fracaso de la demostración.
¿Por qué? Porque estoy agregando como hipótesis extra que 0 esta compuesto de dos factores, uno de los cuales es 0^-1, y eso no puede ser pues 0^-1 no es un real. La regla para descomponer una potencia en factores es que todos los factores sean reales, y si no aseguras esto, no puedes emplearla así nada más.
En una demostración por contradicción todas las premisas deben ser verdaderas y no puedes suponer nada más que lo contrario a lo que quieres demostrar. En la demostración falsa, estoy agregando como premisa extra que puedo descomponer al 0 en dos factores no necesariamente reales, y eso es lo que la hecha por tierra.
Como verás, ese mismo detalle que hace que mi demostración falle, es el mismo que cometes en la tuya. Es claro que no importa que valor de n elija, en cualquier caso la demostración fracasa al suponer que 0^0 esta compuesto por dos factores, uno de ellos indeterminado en los reales. Falso implica cualquier cosa.
La verdad es que encontrar el error no fue fácil, porque el detalle que falla en la demostración es muy sutil, pero espero que esta vez halla quedado claro.
Saludos.
July 16th, 2009 el 11:53 pm
cero a la cero = a dolor de cabeza lo creo, empeze a leer pero ….. no termine…
saludos